Couple de Bézout en remontant l'algorithme d'Euclide - Corrigé

Énoncé

À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(23u+17v=1\) . Que peut-on en déduire pour les entiers  \(23\) et  \(17\) ?

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour \(23\) et \(17\) :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 23&17&1&6\\ \hline 17&6&2&5\\ \hline 6&5&1&1\\ \hline 5&1&5&0\\ \hline \end{array} \begin{array}{ll}\ & \\ \times 3& \text{suppression du reste } 6\\ \times (-1)& \text{suppression du reste } 5\\ \times 1& \text{conservation du PGCD}\\ & \end{array}\end{align*}\)   

En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient : 
\(\begin{align*}23 \times 3+17 \times (-1)=17 \times 1 \times 3+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 23 \times 3+17 \times (-4)=1\end{align*}\)  donc le couple \((u;v)=(3;-4)\) convient.

D'après le théorème de Bézout, \(23\) et \(17\) sont donc premiers entre eux.